Los objetos matemáticos no son nada del otro mundo. Los estudiamos desde la primaria, si no es que antes. Están siempre presentes en la vida humana: los números nos acompañan a todas horas. Son los objetos matemáticos más simples que se le pueden ocurrir a uno y los más útiles también. Después vendrán, y el lector no me dejará mentir, los objetos matemáticos relacionados con espacios continuos. Tendremos las álgebras de Lie, las variedades diferenciales y los haces fibrados. Por otro lado tenemos el álgebra abstracta y la geometría algebraica, temas que sí son del otro mundo. Estos temas me recuerdan ser estudiante en la über-escuela. Se hacían a veces reuniones donde se comía über-carne y se tomaba über-cerveza. Así también se nos enseñaba a ver el abismo de no obtener notas perfectas y el abismo luego nos miraba de vuelta.
Entremos en materia. Es muy fácil reconsiderar la metafísica cuando uno entiende las matemáticas. Considere un triángulo dibujado en papel (imagíneselo o dibújelo querido lector). ¿Dónde está el triángulo? ¿En el papel, la cabeza de uno o en un mundo que no es el nuestro? Recuerde que la suma de sus ángulos internos es 2π. Sólo por ser un triángulo, i.e. delimitar el espacio euclidiano bidimensional con 3 líneas no paralelas entre sí ya nos da una interrelación interesante. Sin embargo, el triángulo que se hace a mano no tiene líneas rectas (a menos que el lector tenga una mano muy peculiar), por lo que no cumple la idealidad requerida para ser un triángulo. A pesar de ello, el triángulo existe, pero el que dibujó el lector se ensució en el proceso del dibujo. Se llenó de la sustancia impura del mundo, perdió ‘idealidad’.
Recordemos que podemos ver a los entes matemáticos como parte del mundo real si asumimos, siguiendo a Platón, que el mundo físico es un espejo que solamente refleja verdades de otro mundo, donde el triángulo en cuestión existe como un vaso de agua para beber. Aristóteles por su parte rechazará dicha separación, la materia es más que un simple espejo, tiene sustancia. El ente matemático estará inequívocamente hecho de materia. Aún así, existe cierta noción de ‘alma’ de los objetos matemáticos, que no corresponden simplemente a la materia del que está hecho.
Este es un dilema que está más allá de lo soluble. Por mi parte creo que un buen sistema del mundo debe ser riguroso como las matemáticas, pero debe ser lo suficientemente amplio como para abarcar la riqueza de los fenómenos del mismo. Posiblemente la Geometría Euclidiana solo se ve como un reflejo en la materia, pero el análisis de Fourier, por ejemplo, ya vive más en el mundo real. La descomposición de una onda compleja ‘sucia’ en componentes sencillos tiene un poder enorme. Los sistemas matemáticos más acordes al mundo son así, los ‘ensuciables’, los que reproducen un objeto real. Sin embargo Fourier tuvo que primero aprender a Euclides.
Antes de darle el trofeo a Aristóteles considere los descubrimientos de Gödel, sus teoremas de incompletitud. Cualquier sistema lógico en el que los números naturales se puedan definir (los sistemas lógicos interesantes) es incompleto: existen aseveraciones verdaderas indemostrables. Dichos teoremas echan por tierra una esperanza que se tenía en la época en que se publicó: que la razón guiara a las matemáticas. Y es que a decir verdad, las matemáticas no cumplen con este precepto de la ilustración, no se guían por la razón. Conservan su herencia de la antigüedad griega. Lo racional en matemáticas es como la burocracia, necesaria, aunque la verdadera soberana es la estética.
La ilustración trajo consigo la noción de una razón soberana. ¡Qué alivio para los matemáticos! Ya no tendrían que buscar en las tinieblas hasta toparse, a manera de epifanía, con alguna revelación. Un acto de inspiración, sin cartografía ni metodología a seguir. Gödel confirmó que no había escapatoria, habría que seguir sin método y de una epifanía a otra. Decir cómo es que una teoría matemática es bella es un tema muy complicado, tan complicado como decir porqué una sinfonía lo es a su vez. Uno la escucha y está preparado para apreciar su belleza o no lo está. Tome como ejemplo paradigmático la sinfonía 8 de Schubert. Para muchas personas es la sinfonía más bella del autor. Sin embargo, es famosamente llamada la sinfonía incompleta, porque el autor nunca la terminó. No lo hizo porque ni siquiera el autor apreció su belleza, ya que hizo trabajos posteriores.
Uno de los aspectos de las matemáticas que las sumen en un velo de misterio es el hecho que se pueden usar para describir fenómenos físicos con gran exactitud. Este hecho era desconocido para Platón y Aristóteles. Para ellos lo claro es que es en el entendimiento, es decir, dentro de la mente de una persona donde se aprecia o proyecta a fin de cuentas los objetos matemáticos. Nunca lo correlacionaron con la física que corresponde al mundo de fuera del alma, usando el lenguaje platónico-aristotélico. Los entes físicos gobernados por leyes matemáticas es un hecho moderno. Ya no es tan evidente la separación entre la mente y el mundo físico, justo porque en ambos viven los objetos matemáticos.
Esta falta de separación mental-física nos remite a pensar en las interacciones sexuales. ¿Dónde ocurre el acto sexual, en la mente o en el cuerpo? Hay quien piensa que sólo debe regir el placer más inmediato. Así también quienes le dan la supremacía a los sentimientos amorosos. Una prudente doctrina aristotélica nos dice que ningún extremo conserva la verdad de manera absoluta. Sin embargo, el amor me parece un fin que no merece la pena ensuciar. El mundo real está tan lleno de correlaciones políticas que corrompe el placer más elevado del amor. Un placer comparable al de las matemáticas. Ciertamente ninguno debería ser obligatorio, un yugo voluntario únicamente.
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